Suma

(a+bi)+(c+di)

=

(a+b)+(c+d)i

ejemplo:

(2+5i)+(3+4i)

=

(5+9i)

im+re

Resta

(-4+5i)-(3-2i)

=

(-7+7i)

im+re

Multiplicación

(a+bi)(c+di)

=

ac+adi+bci+bdi^2

ejemplo:

(7+3i)(2+5i)

=

14+35i+6i+15i^1

=

(-1+41i)

im+re

Division

1

=

4-5√7

(4+5√7)

4-5√7

1

=

8+3√2

8-3√2

8+3√2

Conjugacion

a+bi

=

a-bi

ejemplo:

3+10i

=

3-10i

4-5i

=

4+5i

7

=

7

Multiplicacion

(a+bi)

(a-bi)

=

(a+bi)(a+bi)

Modulo

|Z|

=

|a+bi|

=

ejemplo

|2+9i|

=

√4+81

=

√85

=

9,219544

|(-5-9i)|

=

√25+9

=

√34

=

5,830951

De coordenadas polares a rectangulares

Re(z)

=

rcosƟ

Im(z)

=

rsinƟ

z

=

(rcosƟ)+(rsinƟ)

=

r(cosƟ)+(sinƟ)

=

rcisƟ

ejemplo

5cis (5Ħ/6)

=

5(cos(5Ħ/6)+isen(5Ħ/6))

=

5((-√3/2)+i1/2)

=

(-5/2√3)+(5/2i)

5cis (5Ħ/6)

=

-4,330127

De coordenadas rectangulares a polares

ᶿ

=

arctan y/x

I, IV

CUADRANTE

ᶿ

=

Ħ+arctan y/x

II

ᶿ

=

(-Ħ+arctan y/x)

III

Convertir a coordenadas polares

r

modulo

2+5i

ᶿ

argumento

2+5i

=

√( 2^2+5^2)

=

√29

=

5,3851648

cuadrante I

ᶿ

=

arctan y/x

=

arctan 5/2

=

1,19028995

2+5i

=

5,3851 cis1,19028

mod. Y Argum.

Vectores y matrices

suma de vectores

(

(-3+5i)

)+

(

(2-i)

)

=

(

(-1+4i)

)

(2+8i)

(5+i)

(7+9i)

(3-4i)

(-7+6i)

(-4+2i)

(

5-31i

)+

(

(-10+9i)

)

=

(

(-5-22i)

)

7+8i

3-50i

(10-42i)

Multiplicacion de escalar por vector

(-1+2i)

(

(2+5i)

)

=

(

(-1+2i)

(2+5i)

)

(3+i)

(-1+2i)

(3+i)

(-3+2i)

(-1+2i)

(-3+2i)

=

(

(-12-i)

)

(-5+5i)

(-1-8i)

Resta

Definición: u+v=u+(-v)

ejemplo:

(

-3

),

(

2

)

5

0

1

3

7

(

-3

)

+

5

(

2

)

=

(

-11

)

5

0

35

1

3

22

es una combinación lineal

Producto punto

u*v=∑Ū(k)v(k)

ejemplo:

(

1+3i

)

*

(

6+i

)

=

(1+3i)(6+i)

+

(3-2i)

(5+2i)

3-2i

5+2i

(1-3i)(6+i)

+

(3+2i)

(5+2i)

=

20-i

La conjugacion

(a+bi)

+

(c+di)

=

(a+c)

+

(b+d)i

=

(a+c)

-

(b+d)i

=

a+c-bi-di

=

a-bi+c-di

=

a+bi+c+di

por otro lado

(a+bi)

*

(c+di)

=

(a-bi)(c-di)

=

ac-adi-bci-bd

=

(ac-bd)+(-ad-bc)i

Norma

||v||=√v*v

||

(-1+i)

||

=

(-1+i)

*

(-1+i)

=

||

(3+2i)

||

(3+2i)

(3+2i)

√73=8,544003

||

(7-3i)

||

(7-3i)

(7-3i)

Producto cruz

(

U(1) V(2)

-

U(2) V(1)

)

UxV=

U(2) V(0)

-

U(0) V(2)

U(0) V(1)

-

U(1) V(0)

7

X

17

(

(4)(3)

-

(-2)(9)

)

30

4

X

9

(-2)(17)

-

(7)(3)

=

-55

-2

X

3

(7)(9)

-

(4)(17)

-5

Area del paralelogramo

||UxV||

Area del triangulo

1/2||UxV||

U,V,W: U-V, W-V

Volumen del paralelepípedo

|U*(VxW)|

Volumen del tetraedro

1/3|U*(VxW)|