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DETERMINANTES

Ejemplo
	-3	1	-2		· Si una columna es igual a cero, entonces el determinante da cero. · Si dos columnas son iguales, entonces el determinante da cero.
det	5	4	7	=135
	2	8	-1

	1	1	-2		0	1	-2		0	1	-2
-3det	0	4	7	+5det	1	4	7	+2det	0	4	7
	0	8	-1		0	8	-1		1	8	-1

	1	1	-2
det	0	4	7	=-60
	0	8	-1
	1	1	-2		1	0	-2			1		0		-2
1det	0	0	7	+4det	0	1	7	+8det		0		0		7	=
	0	0	-1		0	0	-1			0		1		-1

	1	0	-2		1	0	1		1		0		0
det	0	1	7	=-2det	0	1	0	-1det	0		1		0
	0	0	-1		0	0	0		0		0		1
	1	0	-2		1	0	0			1		0		0
det	0	0	7	=7det	0	0	1	=-7det		0		1		0	=-7
	0	1	-1		0	1	0			0		0		1
				(4)(-1)+(8)(-7)=-60
	0	1	-2
det	1	4	7	=-15
	0	8	-1
	0	1	-2		0	0	-2			0		0		-2
1det	1	0	7	+4det	1	1	7	+8det		1		0		7	=
	0	0	-1		0	0	-1			0		1		-1
	0	1	-2		0	1	0			1		0		0
det	1	0	7	=8det	1	0	0	=-8det		0		1		0	=-8
	0	0	-1		0	0	1			0		0		1
	0	0	-2		0	1	0			1		0		0
det	1	0	7	=-2det	1	0	0	=2det		0		1		0	=-2
	0	1	-1		0	0	1			0		0		1
(1)(-1)(-1)+(8)(-2)(1)=-15
	0	1	-2
det	0	4	7	=15
	1	8	-1
	0	1	-2		0	0	-2			0		0		-2
1det	0	0	7	+4det	0	1	7	+8det		0		0		7	=
	1	0	-1		1	0	-1			1		1		-1
	0	1	-2		0	1	0			1		0		0
1det	0	0	7	=7det	0	0	1	=--7det		0		1		0	=7
	1	0	-1		1	0	0			0		0		1
	0	0	-2		0	1	0			1		0		0
4det	0	1	7	=-2det	0	0	1	=--2det		0		1		0	=2
	1	0	-1		1	0	0			0		0		1
				(1)(7)+(4)(2)=15
(-3(-60)+5(-15)+2(15)=180-75-30=135)

ECUACIONES LINEALES

2X-3Y+5Z=11	2	-3	5	X		11
(-3+4Y-Z=2)	-3	4	-1	Y	=	2
6X+Y-2Z=2	6	1	-2	Z		2
Formula abreviada
	2	-3	5	\|11
	-3	4	-1	\|2
	6	1	-2	\|2

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente enprogramación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde $x_1,\dots,x_n$ son las incógnitas y los números $a_{ij}\in\mathbb{K}$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo $\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]$ . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1) $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Matriz inversa

El producto de una matriz por su inversaes igual al matriz identidad.

A · A^-1 = A^-1 · A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

1º Cálculo pòr determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La matriz inversa es:

Propiedades de la matriz inversa

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1 = A

(k · A)^-1 = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1 = (A ^-1)^t